本ブログの御訪問ありがとうございます
機械設計歴20年以上のtsurfと言います
今回は以下に関する記事です
ボールネジ機構におけるサーボモーターの選定計算補足 Pc(リードピッチ)÷2πで回転要素への変換ができる理由
⇩本記事は以下の方にオススメです⇩

未経験機械設計者
なんでボールネジ機構の
モーター選定計算で
直動要素を回転要素にする際
ボールネジのPh(リードピッチ)/2π
を使うんだよ
⇩本記事を読むと以下が わかります⇩
Ph(リードピッチ)/2πの誘導式を
わかりやすく説明します
なお 本記事は以下の記事の補足です
①結論
説明用ボールネジ機構モデル
以下のサーボモーターを使ったボールネジのモデルを想定します
図 ボールネジ機構
外部負荷トルクの計算時式
ボールネジ機構における 外部負荷トルクの計算式は以下となります
T=F x Ph/(2π)
T | ボールネジの 回転に必要なトルク |
N.m |
F | ボールネジの 直動機構部の推力 |
N |
Ph | ボールネジのリードピッチ | m (単位換算に注意) |
m | 直動機構部の質量合計 | Kg |
詳しくは後述しますが
外部負荷力を外部負荷トルクに換算する式は
直動力のトルク換算式の応用です
本記事では直動部の推力にPh/(2π)を掛けると
なぜ ボールネジを回すトルクへと変換されるかの説明をします
この式は実は ボールネジを使ったモーターの選定計算で
たまたま 直動外部負荷力のトルク換算に使っていますが
外部負荷力に関わらず 直動加速力など あらゆる直動力をトルク換算します
しかし ボールネジを使ったモーターの選定計算は
以下の理由により
直動部品の慣性モーメントを求めて 回転部品の慣性モーメントも含めた
全慣性モーメントを換算しそこから トルク換算しなくてはいけません
●ボールねじを含む回転部品がある
●回転部品がある以上 加速度は
直動加速度で考えるより角加速度で統一して考えたほうが 簡単
直動慣性モーメントの計算式
ボールネジ機構における 直動慣性モーメントの計算式は以下となります
I=m x {Ph/(2π)}²
I | ボールネジの回転にかかる 直動部による直動慣性モーメント |
Kg.m² |
m | 直動機構部の質量合計 | Kg |
Ph | ボールネジのリードピッチ | m (単位換算に注意) |
詳しくは後述しますが
ボールネジが回転により直動部を直動させる際にかかる
ボールネジの回転させにくさ(=慣性モーメント)
は上記の直動力のトルク換算式を応用します
本記事では直動部の全質量に {Ph/(2π)}² を掛けると
ボールネジが直動部を直動させるための負荷である
直動部の慣性モーメントに換算されるかを説明します
②外部負荷トルク計算式
T=F x Ph/(2π)
STEP1 ネジ部に掛かる回転方向の推力を求める
外部負荷トルクを計算する際に以下の式を使うのですが
T=F x Ph/(2π)
上記の式になる理由を解説します
わかりやすくするために ボールネジのネジ部を
ボールネジ一回転の外周を横軸
ボールネジ一回転で進む距離を縦軸にした平面で考えます
ボールネジの外周とボールネジのリードピッチにより
作成される角度をθ1とします
また一見すると ただの斜面と荷重に見えますが
この斜面は ボールネジのネジ部です
ボールネジのネジ部に軸方向に荷重を加えると回転します
この平面展開図の場合
この斜面を下に押すと 斜面自体が右に移動します
ですので 以下の図のように力が分解されます
つまり 荷重F1から推力F2を求めるには
以下の図のように F1 x tanθαを求めればいいのです
上図より 推力F2の計算式は以下のようになります
推力F2の計算式1
F2=F1 x tan(θα)・・・・式1
ここで θα=θ1です
ですので 以下の図により 以下の式となります
tan(θα)の計算式
tan(θα)=tan(θ1)=Ph/ (2πr)・・・式2
よって 式1に式2を代入すると最終的な
推力F2の計算式は以下となります
推力F2の計算式2
F2=F1 x Ph/ (2πr)・・・・式3
STEP2 トルク変換式
いままで 説明に使っていた
以下の図は ボールネジの外周を平面展開しています
ですので ボールネジを上から見た場合
推力F2は以下の図のように
ある円周のある点における接線方向の力となります
ボールネジを上から見た図
トルクの計算式は
荷重 x 半径です
つまり 以下の式が成り立ちます
直動力のトルクT(N.m)の計算式1
T=F2 x r
上記式のF2に式3を代入します
直動力のトルクT(N.m)の換算式2
T=F1 x Ph / (2πr) x r
よって以下が成り立ちます
直動力のトルクT(N.m)の換算式3
T=F1 x Ph /(2π) ・・・・式4
つまり 直動荷重F1に Pc / (2π)を掛けた式となります
③直動慣性モーメント
I=m x {Ph/(2π)}²
慣性モーメントは 角加速度を掛けるとトルクが算出されます
トルクT(N.m)の計算式1
T=I × ω” ・・・・式5
I | 慣性モーメント | Kg.m² |
ω” | 角加速度 | 1/SEC² |
直動慣性モーメントを求めるには
前章で求めた直動荷重からのトルクの変換式を使い
直動の加速力のみを 回転のトルクに変換してみましょう
まず 直動の加速力は 以下となります
直動加速力 F(N)
F=ma・・・・式6
m | 直動部の質量合計 | Kg |
a | 直動加速度 | m/sec² |
この式6を 前章で求めたトルク変換式 式4に代入してみましょう
荷重F1に 式6を代入します
トルクT(N.m)の計算式2
T=Ma x Ph/(2π)
これにさらに 式5も代入します
ここからは 直動慣性モーメントを求める式になります
直動慣性モーメントI(Kg.m²)の計算式1
Iω=Ma x Ph/(2π)・・・・式7
ところで 直動加速度aは ボールネジを使った直動機構の場合
以下となります
直動加速度a(m/sec²)の式
a=Ph x N / t ・・・・・・式8
N | ボールネジの毎秒あたりの回転数 | roll/sec |
t | ボールネジの回転加速時間 | sec |
また 角加速度ω”は以下の式となります
角加速度ω”(1/sec²)の式
ω”=2π x N / t ・・・・式9
N | ボールネジの毎秒あたりの回転数 | roll/sec |
t | ボールネジの回転加速時間 | sec |
式7に 式8と式9を代入します
直動慣性モーメントI(Kg.m²)の計算式2
I x 2π x N / t
=M x Ph x Nx Ph / (2π x t)
つまり以下となります
直動慣性モーメントI(Kg.m²)の計算式3
I=m x {Ph/(2π)}²
④まとめ
●ボールネジ機構を使ったサーボモーターの選定計算記事の補足です
●選定計算に出てくるPh/(2π)の理由を解説しました
●外部負荷力のトルク変換の公式は ネジの推力のトルク変換式の応用です
●直動慣性モーメントの公式はは 推力のトルク変換式を利用し算出されます
本記事は以上です
最後までお読み頂きありがとうございます