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機械設計歴20年以上のtsurfと言います
今回は以下に関する記事です
ボールネジ機構におけるサーボモーターの選定計算補足
外部負荷トルクと直動慣性モーメントの式の成り立ち
⇩本記事は以下の方にオススメです⇩
未経験機械設計者
ボールネジ機構の
モーター選定計算で
外部負荷トルクや
直動慣性モーメントの計算式
の理由を教えて欲しい。
⇩本記事を読むと以下が わかります⇩
外部負荷トルクや
直動慣性モーメントの誘導式を
わかりやすく説明します
なお 本記事は以下の記事の補足です。
①解説用ボールネジ機構の説明
以下のサーボモーターを使ったボールネジのモデルを想定します。
⇦ モーターの回転による推力Ｆ1
| Ｔ | ボールネジの 回転に必要なトルク |
N.m |
| Ｆ1 | ボールネジの 直動機構部の推力 |
Ｎ |
| Ｐｈ | ボールネジのリードピッチ | ｍ （単位換算に注意) |
| ｍ | 直動機構部の質量合計 | Kg |
②外部負荷トルク計算式
概要
外部負荷トルク算出式は以下となります。
Ｔ＝Ｆ ｘ Ｐｈ／（２π）
| Ｔ | ボールネジの 回転に必要なトルク |
N.m |
| Ｆ | ボールネジの 直動機構部の推力 |
Ｎ |
| Ｐｈ | ボールネジのリードピッチ | ｍ （単位換算に注意) |
| ｍ | 直動機構部の質量合計 | Kg |
STEP1
ネジ部に掛かる回転方向の推力を求める
わかりやすくするために ボールネジのネジ部を
ボールネジ一回転の外周を横軸
ボールネジ一回転で進む距離を縦軸にした平面で考えます
ボールネジの外周とボールネジのリードピッチにより
作成される角度をθ1とします
また一見すると ただの斜面と荷重に見えますが
この斜面は ボールネジのネジ部です
ボールネジのネジ部に軸方向に荷重を加えると回転します
この平面展開図の場合
この斜面を下に押すと 斜面自体が右に移動します
ですので 以下の図のように力が分解されます
つまり 荷重Ｆ１から推力Ｆ２を求めるには
以下の図のように F1 x tanθαを求めればいいのです
上図より 推力Ｆ2の計算式は以下のようになります
推力F2の計算式1
Ｆ２=Ｆ1 ｘ ｔａｎ(θα)・・・・式１
ここで θα＝θ1です
ですので 以下の図により 以下の式となります
ｔａｎ(θα)の計算式
ｔａｎ(θα)＝ｔａｎ(θ1)＝Ｐｈ／ （２πｒ）・・・式2
よって 式１に式2を代入すると最終的な
推力F2の計算式は以下となります
推力F2の計算式2
Ｆ２=Ｆ1 ｘ Ｐｈ／ （２πｒ）・・・・式3
STEP2 トルク変換式
いままで 説明に使っていた
以下の図は ボールネジの外周を平面展開しています
ですので ボールネジを上から見た場合
推力F2は以下の図のように
ある円周のある点における接線方向の力となります
ボールネジを上から見た図
トルクの計算式は
荷重 x 半径です
つまり 以下の式が成り立ちます
直動力のトルクＴ(N.m)の計算式1
Ｔ＝Ｆ２ ｘ ｒ
上記式のF2に式3を代入します
直動力のトルクＴ(N.m)の換算式2
Ｔ＝Ｆ１ ｘ Ｐｈ ／ （２πｒ） ｘ ｒ
よって以下が成り立ちます
直動力のトルクＴ(N.m)の換算式3
Ｔ=Ｆ１ ｘ Ｐｈ ／（２π） ・・・・式4
つまり、
直動荷重Ｆ１に Pc / (2π)を掛けた式
となります。
③直動慣性モーメント
概要
直動慣性モーメントの式は以下となります。
慣性モーメントは、角加速度(弧度法)を掛けると
トルクが算出されます。
Ｉ＝ｍ ｘ ｛Ｐｈ／（２π）｝²
| Ｉ | ボールネジの回転にかかる 直動部による直動慣性モーメント |
Kg.m² |
| ｍ | 直動機構部の質量合計 | Kg |
| Ｐｈ | ボールネジのリードピッチ | ｍ （単位換算に注意) |
式の解説
直動慣性モーメントを求めるには
前章で求めた直動荷重からのトルクの変換式を使い
直動の加速力のみを 回転のトルクに変換してみましょう。
加速トルクの式は以下です。
以下を式５として用意しておきます。
トルクＴ（N.m)の計算式1
Ｔ＝Ｉ × ω” ・・・・式5
| Ｉ | 慣性モーメント | Kg.m² |
| ω” | 角加速度 | 1/SEC² |
直動の加速力は 以下となります
直動加速力 Ｆ(N)
Ｆ1＝ｍ・ａ・・・・式6
| ｍ | 直動部の質量合計 | Kg |
| ａ | 直動加速度 | m/sec² |
この式6を 前章で求めたトルク変換式 式４に代入してみましょう
荷重Ｆ１に 式6を代入します
トルクＴ（N.m)の計算式2
Ｔ＝Ｍａ x Ｐｈ／（2π）
これにさらに 式５も代入します
ここからは 直動慣性モーメントを求める式になります
直動慣性モーメントＩ(Kg.m²)の計算式1
Ｉω＝Ｍａ x Ｐｈ／（2π）・・・・式7
ところで 直動加速度ａは ボールネジを使った直動機構の場合
以下となります
直動加速度ａ(m/sec²）の式
ａ＝Ｐｈ ｘ Ｎ ／ ｔ ・・・・・・式8
| Ｎ | ボールネジの毎秒あたりの回転数 | roll/sec |
| ｔ | ボールネジの回転加速時間 | sec |
また 角加速度ω”は以下の式となります
角加速度ω”(1/sec²)の式
ω”＝2π ｘ Ｎ ／ ｔ ・・・・式9
| Ｎ | ボールネジの毎秒あたりの回転数 | roll/sec |
| ｔ | ボールネジの回転加速時間 | sec |
式7に 式8と式9を代入します
直動慣性モーメントＩ(Kg.m²)の計算式2
Ｉ ｘ 2π ｘ Ｎ ／ ｔ
＝Ｍ ｘ Ｐｈ ｘ Ｎｘ Ｐｈ ／ （2π ｘ ｔ）
上記式をまとめると、以下となります。
直動慣性モーメントＩ(Kg.m²)の計算式3
Ｉ＝ｍ ｘ {Ｐｈ／（２π）}²
つまり、
質量ｍに {Ph / (2π)}²を掛けた式
となります。
④まとめ
本記事は、
ボールネジ機構を使ったサーボモーターの選定計算記事の補足です。
外部負荷トルクや直動慣性モーメントの式の理由を解説しました。
確かに、式の理由を知らずとも、サーボモーターの選定計算は
できてしまいますが、
理由を知っておくと 自身も納得して計算ができますし、
応用の幅も広がっていくと思います。
本記事は以上です。
最後までお読み頂きありがとうございます。