tsurfの機械設計研究室

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サーボモーターの選定計算(トルク計算)の解説 ベルト駆動編(補足 ベルト駆動の直動慣性モーメント式の理由解説付き)

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機械設計歴20年以上のtsurfと言います

 

今回は以下に関する記事です

サーボモーターの選定計算(トルク計算)の解説 ベルト駆動編

(補足 ベルト駆動の直動慣性モーメント式の理由解説付き)

 

⇩本記事は以下の方にオススメです⇩

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とある
未経験機械設計者

ベルト駆動のサーボモーターの
選定計算教えてよ

 

 

 

 

⇩本記事を読むと以下が わかります⇩

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管理人TSURF

ベルト駆動時のサーボ選定計算を
以下の点において
わかりやすく説明します

●外部負荷トルクの算出 

●慣性モーメントの算出

●関連記事として以下を御参照ください   

 計算結果の正しい使い方を説明しています         

 

●なお以下の記事では ボールネジ機構におけるサーボモーターの

 選定計算記事です 

    ここで選定計算の基礎中の基礎を解説しています

 

 

①結論 概要基礎 駆動力について

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基礎

サーボモーターの選定計算に関わらず

駆動系を使い ワークを搬送させる場合駆動系の選定に共通して必要なのは 

以下の式です

 

必要駆動力(N)=外部負荷力(N)+加速力(N)

 

このあたり 詳しく知りたい方は 以下の記事の御参照をお願いします

【機械設計の物理】 選定計算の理解に必須の「力の基礎」と「単位:ニュートンとは」 - tsurfの機械設計研究室

外部負荷力

ワークやワークを受ける搬送治具 リニアガイドのスライドブロック等 

直動させる部分の質量と地球の重力加速度からくる以下の力に対抗する力です

 

●垂直搬送であれば重力(今回はベルト駆動のため 垂直搬送はなし)

●水平搬送であれば摩擦力

 

以上の力は最低限必要な力であり これだけでは動きません

動くか動かないかの状態です

これから動き出すには 加速力が必要になります

  

加速力

物体を動かし始める時の力です

加速を与えることによって 最終的に等速直線運動ができます

力は加速度と質量に比例します

 

必要駆動力をモーター軸の回転力に当てはめる

必要駆動トルク(N・m)=外部負荷トルク(N・m) + 加速トルク(N・m)

 

②計算式の解説前置き

以下のシンプルな例で解説します

以下の機構の場合

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   図1 ベルト駆動機構

 

ベルト駆動における サーボモーターの選定計算は以下となります

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  内容 単位 特記事項
T モーターの必要トルク N.m  
Fm 直動部による外部負荷力 N

水平なら摩擦力
垂直なら重力

(ベルト駆動なので水平のみ)

プーリーの外径 m 単位換算に注意
A 減速比 無次元  
m 直動部の質量 Kg  
Jp プーリーの
慣性モーメント
Kg.m²

2ヶ以上の

使用であることに注意

Js その他回転部品の
慣性モーメント
Kg.m²

ベアリング

メカロックなど

Ja 減速機の
慣性モーメント
Kg.m² カタログに記載あり
Jb モーター軸の
慣性モーメント
Kg.m² カタログに記載あり
ω" 角加速度 1/sec²  

 

これについて 結論1で述べたことを踏まえつつ解説していきます

ベルト駆動の場合は ボールネジ機構ほど難しい計算式ではありません

⇩この部分が外部負荷トルクの計算部になります

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⇩この部分が 加速トルクの計算部になります 

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③外部負荷トルクの計算式の仕組みと計算式解説

概要

以下の部分の計算式の解説をします

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図1の例では 直動する部分は以下となります

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これらの部品は全て直動します

 

そしてこれらの部品の質量は 

以下として直動方向に対して負荷(ブレーキ)となります

水平搬送なので 摩擦力として負荷となります

 

手順としては以下となります

 

外部負荷力を算出

   ⇩

外部負荷力から モーターに必要な外部負荷トルクを算出

 

 

手順1 外部負荷力を求める

外部負荷力は 以下となります

水平搬送であれば 質量 × 重力 × 摩擦係数

 

上述した直動する以下の部品の質量の合計をmとします

●ワーク

●ベルトの直動部

 

水平搬送による摩擦力をFmhとすると各外部負荷力は以下の式になります

外部負荷力の式

水平搬送による摩擦力 Fm = µmg

 

m:直動部質量合計  <Kg>

g:重力加速度 9.8 <m/sec²>

µ:摩擦係数     0.2<無次元>

 

補足 摩擦係数

今回はベルトとプーリーとの摩擦であるため 0.2程度で計算します

 

 

算出された計算結果を

⇩以下の赤枠の部分にあてはめます

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手順1補足 外部摩擦トルク計算式の仕組み

トルクは 下図のように発生推力x半径となります

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従って 外部摩擦トルクの計算式は 

外部摩擦トルク(N.m)=Fm(N) x D(m)/2となります

 

手順2 減速比を考慮する

減速機がつけば 減速される分トルクが大きくなります

今求めているのはモーター軸にかかるトルクなので 

減速比(無次元)で割ってあげています

 

⇩以下の部分ですね 

f:id:tsurf:20210911192704p:plain

 

 

 

 

④加速トルクの計算式の仕組み

前置き

この章では 慣性モーメントと角加速度より 加速トルクを求めます

 

慣性モーメントとは 物体の回転しづらさなのですが

詳しくは 以下の記事を御参照ください

 

 

概要

以下の計算式は加速トルクを計算しているのですが

その加速トルク算出を解説します

 

加速トルクは以下で求められます

加速トルク算出

加速トルク(N)

=回転部品慣性モーメント(Kg・m²) × 角加速度(1/sec²)

 

図1の例では 回転する部品は以下となります

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慣性モーメントは全回転部分に関して算出し合計するのですが 

減速機のトルクアップによる影響があるかどうかで以下に別れます

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何故 別れるのか?

それは 求めた慣性モーメントに 減速機によるトルクアップの影響が

ある場合 回転しやすくなるので 計算値にその補正をかけるからです

 

次章から 慣性モーメントから加速トルクの算出を解説します

 

 

⑤加速トルクの計算式の解説その1
 減速機以降の慣性モーメント

 前解説 減速機の出力軸以降の回転部品洗い出し 

以下の範囲の回転部品の慣性モーメントを算出します

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慣性モーメントは回転しづらさです
この部分の回転による慣性モーメントは以下となります

Jc 直動部があることによる回転負荷
Jp プーリー自体の回転させづらさ
Js 深溝玉ベアリングの外輪の回転させづらさ
ベルトの回転部の回転させづらさ
メカロックの回転させづらさ

 

手順1 プーリーが受ける直動慣性モーメントJc

プーリーが回転により

直動部を直動送りする際に発生する慣性モーメントを求めます

 

プーリーによる直動慣性モーメントは以下の式で求めます

直動慣性モーメント(Kg.m²)=直動部の質量(Kg)×(プーリーの直径(m) ÷2π)²

⇩この赤枠の部分ですね

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D プーリーの直径 単位(m)
m 直動部の質量
(外部負荷力の算出時に求めた値です)
単位(Kg)

 

 

手順1の補足 プーリ機構の直動慣性モーメントの誘導式

プーリー駆動の直動慣性モーメントが なぜ 以下の式になるかの証明をしましょう

(お急ぎの方は 読み飛ばしても構いません)

直動慣性モーメント(Kg.m²)の計算式

=直動部の質量(Kg)×(プーリーの直径(m) ÷2π)²

 

 

加速時のトルクのみを求めてみます

プーリー駆動の場合 直動力からトルクT(N.m)を求める式は以下でした

トルクT(N.m)の計算式1

T=F × D/2 ・・・・・・式1

F 直動力 N
D プーリーの直径 m

 

 

ここでF(N)は以下で求められます

直動力F(N)の計算式

F =m × a                       ・・・・式2

m 直動部の質量力 Kg
a 直線(接線)加速度 m/sec²

 

 

式2を式3に代入します

トルクT(N.m)の計算式2

T=ma × (D/2) ・・・・式3

 

 

ここで 円運動における接線加速度以下で求められます

直動(接線)加速度a(m/sec²)の計算式

a=(D/2) × ω”²    ・・・・式4

(円運動する物体の接線加速度の公式より)

D プーリーの直径 m
ω” プーリーの角加速度 m/sec²

 

式3に式4を代入します

トルクT(N.m)の計算式3

T=m × (D/2) × ω”² × (D/2)・・・式5

 

一方で 回転運動に必要な加速力の式として以下があります

トルクT(N.m)の計算式4

T=Iω”² ・・・・・・・・・・・・・・式6

 

式6を式5に代入します

直動慣性モーメントI(Kg.m²)の計算式

Iω”²=m × (D/2) × ω”² × (D/2)

 

よって 以下の公式が導きだされます

ベルト駆動における 直動慣性モーメントI(Kg.m²)の計算式

I=m × (D/2)²

 

手順2 ボールネジ と その他回転部品の慣性モーメント

プーリーそのものの慣性モーメント と その他の回転部品の

慣性モーメントを求めます

⇩この赤枠の部分です

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Jp

プーリそのものの慣性モーメント

n個使っている場合xnです

今回の例ではx2にします

単位(Kg・m²)
Js 以下の慣性モーメント合計
●深溝玉ベアリング外輪
●ベルトの回転部
●メカロック
単位(Kg・m²)

慣性モーメントの計算式については以下を御参照ください

注意点として

部品の形状を以下近似形状として計算してください

プーリーは          中空円柱の慣性モーメント計算式

深溝玉ベアリングの外輪は   中空円柱の慣性モーメント計算式

ベルトの回転部は       中空円柱の慣性モーメント計算式

メカロックは         中空円柱の慣性モーメント計算式

 

手順3 減速比を考慮する

今まで計算してきた回転部は 減速機の影響を受けます

減速比の2乗で割ってあげます

⇩それが この赤枠の部分です

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⑥加速トルクの計算式の解説その2
 サーボモーターから減速機の慣性モーメント

これから計算する部分は 減速機の影響を受けません

従って この部分は 慣性モーメントを合算するだけです

⇩この部分ですね

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Ja  減速機の慣性モーメント(カタログに記載あり)

Jb  サーボモーターのローターの慣性モーメント(カタログに記載あり)

 

 

 

⑦加速トルクの計算式の解説その3
 慣性モーメントの合算に角加速度をかける

慣性モーメントの合算

今まで求めた 減速機以降の慣性モーメントと

サーボモーター~減速機までの慣性モーメントを合算します

⇩以下の赤枠の部分ですね

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角加速度を掛けて 加速トルクの算出

慣性モーメントの合算に 角加速度を掛けます

⇩以下の赤枠の部分です

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角加速度ω”について

角加速度は 所定の回転数に到達するための回転加速度のことです

簡単に解説すると以下になります

角加速度ω”(1/sec²)の算出

ω”=ω / t a

 

ω:角速度 (rad/sec) 

ta: 加速時間 (sec)

 

角速度はラジアン換算してください

ラジアンは 角度によってできる円周の長さを半径で割った

比なので無次元です

 

角加速度の基礎知識については 以下の記事を御参照ください

 

 

角加速度の求め方については 以下の記事を御参照ください



 

⑧選定計算の後 モーター性能表との照らし合わせ

選定計算を行っても モーター性能表の見方を間違えると

意味がありません

以下の記事を御参照ください

 

⑨まとめ

●基本は 以下となります

●必要トルク=外部負荷トルク+加速トルク

●外部負荷トルクは 外部の負荷である重力や摩擦力に対抗する最低限のものです

●動きださせるには 重力や摩擦力に加え 加速しなくてはいけません

●そのために 加速力が必要です

 

本記事は以上です

最後までお読み頂きありがとうございます