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機械設計歴20年以上のtsurfと言います。
今回は以下に関する記事です。
サーボモーターの選定計算
（トルク計算）の解説 ベルト駆動編
（補足 ベルト駆動の直動慣性モーメント式の理由解説付き）
⇩本記事は以下の方にオススメです⇩
未経験機械設計者
ベルト駆動のサーボモーターの
選定計算教えてよ
⇩本記事を読むと以下が わかります⇩
ベルト駆動時のサーボ選定計算を
以下の点において
わかりやすく説明します
なお以下の記事では、ボールネジ機構における
サーボモーターの選定計算記事です 。
まず、この記事でボールネジ機構を理解ていただくと
理解が速いかもしれません。
- ①結論 概要基礎 駆動力について
- ②計算式の解説前置き
- ③外部負荷トルクの計算式の仕組みと計算式解説
- ④加速トルクの計算式の仕組み
- ⑤加速トルクの計算式の解説その１ 減速機以降の慣性モーメント
- ⑥加速トルクの計算式の解説その2 サーボモーターから減速機の慣性モーメント
- ⑦加速トルクの計算式の解説その3 慣性モーメントの合算に角加速度をかける
- ⑧選定計算の後 モーター性能表との照らし合わせ
- ⑨まとめ
①結論 概要基礎 駆動力について
基礎
サーボモーターの選定計算に関わらず、駆動系を使い
ワークを搬送させる場合駆動系の選定に共通して必要なのは
以下の式です
必要駆動力(N)=外部負荷力(N)+加速力(N)
このあたり 詳しく知りたい方は、
以下の記事の御参照をお願いします。
外部負荷力
外部負荷力とはプーリー機構によって
実際に直動運動される以下の部品等からくる
- ワーク
- ワークを受ける搬送治具
- リニアガイドのスライドブロック等
直動運動される部品の質量合計と
地球の重力による以下の力に拮抗するための力です。
- 垂直搬送であれば重力
（今回はベルト駆動のため 垂直搬送はなし） - 水平搬送であれば摩擦力
以上の力は最低限必要な力であり、
これだけでは動きません
動くか動かないかの状態です。
これから動き出すには、加速力が必要になります。
加速力
物体を動かし始める時の力です。
加速力を与えることによって、
初めて物体が動き出します。
その加速度は動作仕様によって違います。
力は加速度と質量に比例します。
各必要力をモーター軸の
回転力に当てはめる
必要駆動トルク(N・m)=
外部負荷トルク(N・m) + 加速トルク(N・m)
②計算式の解説前置き
以下のシンプルな例で解説します。
今回は、ガイドなどは省きます
以下の機構の場合
図1 ベルト駆動機構
ベルト駆動における サーボモーターの選定計算は以下となります
| 内容 | 単位 | 特記事項 | |
|---|---|---|---|
| T | モーターの必要トルク | N.m | |
| Fm | 直動部による外部負荷力 | N |
水平なら摩擦力 （ベルト駆動なので水平のみ） |
| Ｄ | プーリーの外径 | m | 単位換算に注意 |
| A | 減速比 | 無次元 | |
| m | 直動部の質量 | Kg | |
| Jp | プーリーの 慣性モーメント |
Kg.m² |
２ヶ以上の 使用であることに注意 |
| Js | その他回転部品の 慣性モーメント |
Kg.m² |
ベアリング メカロックなど |
| Ja | 減速機の 慣性モーメント |
Kg.m² | カタログに記載あり |
| Jb | モーター軸の 慣性モーメント |
Kg.m² | カタログに記載あり |
| ω" | 角加速度 | 1/sec² |
これについて、結論で述べたことを
踏まえつつ解説していきます。
ベルト駆動の場合は、
ボールネジ機構ほど難しい計算式ではありません
⇩この部分が外部負荷トルクの計算部になります
⇩この部分が 加速トルクの計算部になります
③外部負荷トルクの計算式の仕組みと計算式解説
概要
以下の部分の計算式の解説をします
図１の例では 直動する部分は以下となります。
これらの部品は全て直動します。
そしてこれらの部品の質量は
水平搬送なので、摩擦力として負荷となります。
直動方向に対して負荷（ブレーキ）となります
手順としては以下となります。
外部負荷力を算出
⇩
外部負荷力から
モーターに必要な外部負荷トルクを算出
手順１ 外部負荷力を求める
外部負荷力は、以下となります。
水平搬送であれば 質量 × 重力 × 摩擦係数
上述した直動する以下の部品の質量の合計をmとします
- ワーク
- ベルトの直動部
- （ガイドがあれば ガイドのスライド部）
水平搬送による摩擦力をFmhとすると
各外部負荷力は以下の式になります。
水平搬送による摩擦力 Fm h = µmg
m：直動部質量合計 <Kg>
g：重力加速度 9.8 <m/sec²>
µ：摩擦係数 0.2<無次元>
補足 摩擦係数
今回はベルトとプーリーとの摩擦であるため、
0.2程度で計算します。
ガイドを使用するのであれば0.1程度です。
算出された計算結果を
⇩以下の赤枠の部分にあてはめます
手順1補足 外部摩擦トルク計算式の仕組み
トルクは、下図のように発生推力ｘ半径となります。
従って 外部摩擦トルクの計算式は
外部摩擦トルク(N.m)=Ｆm(N) x D/2(m)
となります
手順2 減速比を考慮する
減速機がつけば、
減速される分トルクが大きくなります。
今求めているのはモーター軸にかかるトルクなので
減速比（無次元）で割ってあげています。
⇩以下の部分ですね
④加速トルクの計算式の仕組み
前置き
この章では、慣性モーメントと角加速度より
加速トルクを求めます。
慣性モーメントとは、物体の回転しづらさなのですが
詳しくは、以下の記事を御参照ください。
概要
以下の計算式は加速トルクを計算しているのですが
その加速トルク算出を解説します。
加速トルクは以下で求められます。
加速トルク(N)
=回転部品慣性モーメント(Kg・m²) × 角加速度(1/sec²)
図１の例では 回転する部品は以下となります
慣性モーメントは全回転部分に関して算出し、
合計するのですが
減速機のトルクアップによる影響があるかどうかで
以下に別れます
何故 別れるのか？
それは、求めた慣性モーメントに、減速機による
トルクアップの影響がある場、トルクが小さく済むので
計算値にその補正をかけるからです。
次章から、
慣性モーメントから加速トルクの算出を解説します。
⑤加速トルクの計算式の解説その１
減速機以降の慣性モーメント
前解説 減速機の出力軸以降の
回転部品洗い出し
以下の範囲の回転部品の慣性モーメントを
算出します。
慣性モーメントは回転しづらさです。
この部分の回転による慣性モーメントは以下となります。
| Jc | ➡ | 直動部があることによる回転負荷 |
| Jp | ➡ | プーリー自体の回転させづらさ |
| Js | ➡ | 深溝玉ベアリングの外輪の回転させづらさ |
| ベルトの回転部の回転させづらさ | ||
| メカロックの回転させづらさ |
手順1 プーリーが受ける直動慣性モーメントＪc
直動部を直動送りする際に
プーリーに発生する負荷である慣性モーメントを
求めます。
プーリーによる直動慣性モーメントは
以下の式で求めます。
直動慣性モーメント(Kg.m²)
=直動部の質量(Kg)×(プーリーの直径(m) ÷2π)²
⇩この赤枠の部分ですね
| D | プーリーの直径 | 単位(m) |
| m | 直動部の質量 （外部負荷力の算出時に求めた値です） |
単位(Kg) |
手順1の補足 プーリ機構の
直動慣性モーメントの誘導式
プーリー駆動の直動慣性モーメントが
なぜ以下の式になるかの証明をしましょう。
（お急ぎの方は 読み飛ばしても構いません）
直動慣性モーメント(Kg.m²)の計算式
=直動部の質量(Kg)×(プーリーの直径(m) ÷2π）²
加速時のトルクのみを求めてみます
プーリー駆動の場合 直動力からトルクＴ(N.m)を求める式は以下でした
トルクＴ（N.m)の計算式1
Ｔ=Ｆ × Ｄ／２ ・・・・・・式１
| F | 直動力 | N |
| D | プーリーの直径 | m |
ここでＦ(N)は以下で求められます
直動力F（N)の計算式
Ｆ ＝ｍ × ａ ・・・・式2
| m | 直動部の質量力 | Kg |
| a | 直線（接線）加速度 | m/sec² |
式2を式３に代入します
トルクＴ（N.m)の計算式2
Ｔ＝ｍａ × (Ｄ／２） ・・・・式3
ここで 円運動における接線加速度以下で求められます
直動（接線）加速度ａ（m/sec²)の計算式
a=(D/2) × ω”² ・・・・式4
（円運動する物体の接線加速度の公式より）
| D | プーリーの直径 | m |
| ω” | プーリーの角加速度 | m/sec² |
式3に式4を代入します
トルクＴ（N.m)の計算式3
Ｔ＝ｍ × (Ｄ／２） × ω”² × (Ｄ／２）・・・式5
一方で 回転運動に必要な加速力の式として以下があります
トルクＴ（N.m)の計算式4
Ｔ＝Ｉω”² ・・・・・・・・・・・・・・式6
式6を式5に代入します
直動慣性モーメントI（Kg.m²)の計算式
Ｉω”²＝ｍ × (D/2) × ω”² × (Ｄ／２）
よって 以下の公式が導きだされます
ベルト駆動における 直動慣性モーメントI（Kg.m²)の計算式
Ｉ＝ｍ × (D/2)²
手順2 ボールネジ と
その他回転部品の慣性モーメント
プーリーそのものの慣性モーメントと、
その他の回転部品の慣性モーメントを求めます。
⇩この赤枠の部分です。
| Jp |
プーリそのものの慣性モーメント n個使っている場合ｘｎです 今回の例ではｘ2にします |
単位(Kg・m²) |
| Js | 以下の慣性モーメント合計 ●深溝玉ベアリング外輪 ●ベルトの回転部 ●メカロック |
単位(Kg・m²) |
慣性モーメントの計算式については以下を御参照ください
注意点として
部品の形状を以下近似形状として計算してください。
| プーリー | 中空円柱の 慣性モーメント計算式 |
|---|---|
| 深溝玉ベアリング の外輪 |
|
| ベルトの回転部 | |
| ベルトの回転部 |
手順3 減速比を考慮する
今まで計算してきた回転部は、減速機の影響を受けます。
減速比の２乗で割ってあげます。
⇩それが この赤枠の部分です。
⑥加速トルクの計算式の解説その2
サーボモーターから減速機の慣性モーメント
これから計算する部分は、減速機の影響を受けません。
従って、この部分は慣性モーメントを合算するだけです。
⇩この部分ですね
| Ja | 減速機の慣性モーメント (カタログに記載あり） |
|---|---|
| Jb | サーボモーターのローターの慣性モーメント (カタログに記載あり） |
⑦加速トルクの計算式の解説その3
慣性モーメントの合算に角加速度をかける
慣性モーメントの合算
今まで求めた 減速機以降の慣性モーメントと
サーボモーター～減速機までの慣性モーメントを合算します。
⇩以下の赤枠の部分ですね。
角加速度を掛けて 加速トルクの算出
慣性モーメントの合算に 角加速度を掛けます。
⇩以下の赤枠の部分です。
角加速度ω”について
角加速度は、
所定の回転数に到達するための回転加速度のことです。
簡単に解説すると以下になります。
ω”＝ω / t a
ω：角速度 (rad/sec)
ta： 加速時間 (sec)
角速度はラジアン換算してください。
ラジアンは、角度によってできる円周の長さを
半径で割った比なので無次元です。
角加速度の基礎知識については
以下の記事を御参照ください。
角加速度の求め方については 以下の記事を御参照ください
⑧選定計算の後 モーター性能表との照らし合わせ
選定計算を行っても モーター性能表の見方を間違えると
意味がありません。
以下の記事を御参照ください。
⑨まとめ
- 必要トルク＝外部負荷トルク+加速トルク
- 外部負荷トルクは 外部の負荷である重力や
摩擦力に対抗する最低限のものです。 - 動きださせるには 重力や摩擦力に加え
加速しなくてはいけません。 - そのために 加速力が必要です。
本記事は以上です。
最後までお読み頂きありがとうございます。