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機械設計歴20年以上のtsurfと言います。
今回は以下に関する記事です。
【機械設計の物理】力の分解
（斜面上の物体に掛かる力と動かすための力）
⇩本記事は機械設計初心者の方で以下の方にオススメです⇩
未経験機械設計者
機械設計に使える
基礎的な物理を
教えて欲しい
⇩本記事を読むと以下が わかります⇩
今回は力の分解その2として
斜面上にある物体に
掛かる力と動かすための力
を解説します
①力の分解解説モデル
今 以下の図のように、
角度Θ°の斜面上に搬送物があります。
ここで、この駆動機構が搬送物を斜面沿いに
搬送するために必要な力を解説します。
②結論
駆動機構が必要とする外部負荷力Ｆk（Ｎ）は、
以下となります。
Ｆk＝Ma+（Mg・sinΘ+μＭｇ・cosΘ）
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| ａ | ⇒ | 搬送させる際の加速度 | (m/sec²) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
このMaの部分に関しては加速力となりますので
以下の記事を参照してください。
今回は、外部負荷力をメインとして
Mg・sinΘ+μＭｇ・cosΘの部分
を外部負荷力Ｆｔ(N)として解説します。
③搬送物に必要な力（外部負荷力）
概要
斜面によって物体に掛かる力は以下に分解されます。
ここで駆動機構に必要な力は、加速力を除けば
滑り落ちる力に対抗する力Ｆａが必要になりますね。
しかし それだけではありません。
駆動機構が斜面に沿って搬送しようとするときに
斜面と搬送物に摩擦力が生じます。
なので以下の赤字が追加されます。
ここで 分解された力に補助線を追加していきましょう。
最終的に搬送に必要な外部負荷力
ここでまとめると搬送に必要な外部負荷力は、
- 斜面を滑り落ちる力Ｆａ(N)
- 斜面と搬送物の摩擦力Ｆｃ(N)
となります。
④搬送に必要な外部負荷力Ｆｔ(N)の算出
斜面を滑り落ちる力Ｆａ(N)
以下の図より、
青い矢印：斜面を滑る落ちる力Ｆａ(N)は
以下となります。
Ｆa=Mg・ｓｉｎθ
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
搬送物と斜面の摩擦力Ｆｃ(N)
摩擦力とは、接地面に垂直に掛かる力に比例して
進行方向に対して妨害する力です。
摩擦力は以下の式で算出します。
摩擦力(N)
＝摩擦係数(無次元) × 接地面に垂直に掛かる力(N)
となります。
上図の場合、接地面に垂直に掛かる力は重力なので
摩擦力(N)
＝摩擦係数(無次元) × 重力(N)
となります。
なので、今回は以下の図より
接地面（今回は斜面）に垂直に掛かる力は、
赤矢印のＦｂ(N)となります。
Ｆｂ＝Ｍｇ・ｃｏｓΘなので
黄色い矢印：摩擦力Ｆｃ(N)は以下となります。
Ｆc=µＭg・ｃｏｓθ
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
斜面上の搬送物を動かすために
必要な外部負荷力
つまり、以下の図において
駆動機構が必要な外部負負荷力Ｆt(N)は、
以下となります。
Ｆt＝Mg・sinΘ+μＭｇ・cosΘ
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
⑤駆動機構が搬送物を斜面に押し上げる力の式の応用
概要
今回の式で御紹介した
斜面の外部負荷力Ｆｔ(N)の式ですが
駆動系を考えた場合には当然今回触れなかった加速力も
必要になります。
すると、駆動系が必要な力Ｆｋ(N)は以下の式となります。
Ｆk＝Ma+(Mg・sinΘ+μＭｇ・cosΘ）
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| ａ | ⇒ | 搬送させる際の加速度 | (m/sec²) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
実は この式は、どのようなケースにも応用できる
汎用性のある式なのです。
水平時に必要な駆動力Ｆkh(N)
このΘに水平時である0°を代入します。
Ｆkh＝Ma+Mg・sin(0°)+μＭｇ・cos(0°)
sin(0°)=0 cos(0°)=1 より
水平時の駆動系の搬送力Ｆkh (N)
は以下となります。
Ｆkh＝Ma+μＭg
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
|---|---|---|---|
| ａ | ⇒ | 搬送させる際の加速度 | (m/sec²) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
垂直時に必要な駆動力Ｆkv(N)
このΘに垂直時である90°を代入します。
Ｆkv＝Ma+Mg・sin(90°)+μＭｇ・cos(90°)
sin(90°)=1 cos(90°)=0 より
垂直時の駆動系の搬送力Ｆkv(N)
は以下となります。
Ｆkv＝Ma+Ｍg
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
|---|---|---|---|
| ａ | ⇒ | 搬送させる際の加速度 | (m/sec²) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
⑥補足（読みとばしOK）
上図において なぜ力の分解ベクトルの角度が
斜面角度と同じになるのかを解説します。
|
まず、 すると・・・ |
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右図より なので・・・ |
|
|
右図より なので・・・ |
|
| 直角三角形の 内角より Θが証明されます。 |
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| あとは平行線の 同位角と対頂角 により 右図が証明されます。 |
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物体が単に斜面を
滑り落ちる場合
物体が単に斜面を滑り落ちる場合とは
以下の状況を指します。
この時に注意したいのが摩擦力の向きです。
先ほどは、駆動系の搬送方向に対して
逆向きの摩擦力が発生しました。
しかし、摩擦力とは あくまで
進行方向の逆に発生する阻害する力
です。
今回のように滑る落ちる時に発生する
摩擦力は以下となります。
従って、
搬送物が斜面を自重で滑り落ちる力Ｆｆ(N)は
以下となります。
Ｆf＝Mg・sin(Θ) - μＭｇ・cos(Θ)
| Θ | ⇒ | 斜面の角度 | (°)もしくは (radian) |
|---|---|---|---|
| Ｍ | ⇒ | 搬送物の質量 | (Kg) |
| g | ⇒ | 重力加速度(9.8) | (m/sec²) |
| μ | ⇒ | 摩擦係数 | (無次元) |
⑦まとめ
汎用性のある式は、駆動機構が必要とする出力Ｆk（Ｎ）
Ｆk＝Ma+Mg・sin(Θ)+μＭｇ・cos(Θ)
この式は、水平時、垂直時 含めて、
全ての状態に対応しています。
本記事は以上です。
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